ดาวหางฮัลเลย์และกฎการเคลื่อนที่ดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ (Kepler's laws of planetary motion)

          ชีวิตของคนเรานั้นแสนสั้นนักเมื่อเทียบกับอายุของเอกภพหรือดวงอาทิตย์ เราจึงควรไม่ปล่อยเวลาไปเปล่าๆ กระทรวงสาธารณสุขประกาศว่า ในปี พ.ศ. 2559 คนไทยมีอายุเฉลี่ยที่ 75.3 ปี นี่ใกล้เคียงกับดาวหางฮัลเลย์ (Halley's Comet หรือ 1P/Halley) ดาวหางที่โคจรกลับมาให้คนบนโลกเห็นบนท้องฟ้าประมาณทุกๆ 76 ปี นั่นหมายความว่าโดยทั่วไปแล้ว แต่ละคนมีโอกาสเห็นดาวหางฮัลเลย์ปรากฏตัวบนท้องฟ้าได้ครั้งเดียวเท่านั้นในชั่วชีวิต โดยครั้งล่าสุดที่มันมาปรากฏตัวคือ ปี ค.ศ. 1986 และจะปรากฏตัวอีกครั้งในปี ค.ศ. 2061 โดยมันมีความโดดเด่นตรงที่มันมีความสว่างมากสามารถมองเห็นได้ด้วยตาเปล่าอย่างชัดเจน โดยมันเป็นก้อนขนาดใหญ่มีขนาด 15 กิโลเมตร * 8 กิโลเมตร ประกอบไปด้วยน้ำ คาร์บอนไดออกไซด์ ฝุ่นและแอมโมเนีย 


          ดาวหางฮัลเลย์เป็นดาวหางดวงแรกที่มนุษย์สามารถใช้คณิตศาสตร์ในการทำนายการกลับมาของมันได้ โดยใน ค.ศ. 1705 นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อเอ็ดมันด์ แฮลลีย์ (Edmond Halley) ตีพิมพ์ผลงานของเขาแสดงการคำนวณให้เห็นว่า ดาวหางที่เห็นบนท้องฟ้าในปี ค.ศ. 1531 ค.ศ. 1607 และ ค.ศ. 1682 จริงๆแล้วเป็นดาวหางดวงเดียวกัน และเขายังทำนายว่ามันจะปรากฏตัวอีกครั้งในปี ค.ศ. 1758 และก็มันก็ปรากฏตัวเป็นตามที่ไว้จริงๆ แม้น่าเสียดายที่แฮลลีย์ได้เสียชีวิตไปก่อนหลายปี แต่เราก็ได้เรียกชื่อดาวหางนี้ในปัจจุบันตามชื่อของเขาเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา 


          เราสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของดาวหางได้อย่างไร จริงๆแล้วเราสังเกตุการณ์เคลื่อนที่ของดวงดาวและวัตถุต่างๆบนท้องฟ้ามานานแล้วตั้งแต่ในอดีต แต่มันสร้างความสับสนงุนงงให้แก่ผู้คนที่เฝ้าสังเกตมันอย่างมาก นั่นเป็นเพราะเราสังเกตสิ่งต่างๆบนท้องฟ้าจากในโลก ขณะที่โลกหมุนรอบตัวเอง โลกยังโคจรรอบดวงอาทิตย์ และดาวเคราะห์ในระบบสุริยะดวงอื่นๆต่างก็โคจรรอบดวงอาทิตย์ด้วยเช่นกัน 


          เช่น ในบางครั้งถ้าเราจะเห็นเส้นทางการโคจรของดาวอังคารโดยการสังเกตจากโลกนั้นมีการหมุนเป็นวงก่อนเคลื่อนที่ต่อไป สร้างความแปลกใจให้แก่ผู้สังเกต ปัจจุบันนี้เราทราบกันดีแล้วว่านี่คือ ปรากฎการณ์เคลื่อนที่ถอยหลัง (Apparent retrograde motion) เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นกับดาวเคราะห์วงนอก (Superior Planets) เช่นดาวอังคาร เกิดขึ้นจากการที่โลกเคลื่อนที่เร็วกว่าดาวเคราะห์วงนอก ดังนั้นเมื่อเรามองจากโลกไปยังดาวเคราะห์วงนอก จะเห็นดาวเคราะห์นั้นเคลื่อนที่ถอยหลัง            เมื่อโยฮันเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันได้ใช้เวลาเกือบจะทั้งชีวิตศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์โดยอาศัยข้อมูลการสังเกตการณ์จากทีโค บรา (Tycho Brahe) ทำให้เขาสามารถสร้างกฎพื้นฐานการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ได้ 3 ข้อโดยตีพิมพ์ผลงานในชื่อ Astronomia nova ในปี ค.ศ. 1609 กฎเหล่านี้ชื่อว่ากฎการเคลื่อนที่ดาวเคราะห์ของเคปเลอร์  (Kepler's laws of planetary motion) ซึ่งไม่ใช่เพียงดาวเคราะห์เท่านั้นที่สามารถใช้กฎนี้อธิบายได้ สิ่งอื่นๆเช่นดาวหางที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ก็สามารถใช้กฎนี้มาอธิบายมันได้ด้วยเช่นกัน ซึ่งสิ่งนี้เองทำให้มนุษย์เข้าใจการเคลื่อนที่ของดวงดาวบนท้องฟ้ามากยิ่งขึ้น โดยกฎของเคปเลอร์ทั้ง 3 ข้อสามารถอธิบายได้คร่าวๆดังนี้


           1.กฎแห่งการโคจร ดาวเคราะห์ทุกดวงจะโคจรเป็นวงรีโดยมีดวงอาทิตย์เป็นโฟกัส และเพราะดวงอาทิตย์มีมวลมากกว่าดาวเคราะห์มาก จึงให้จุดศูนย์กลางมวลของระบบดาวเคราะห์-ดวงอาทิตย์อยู่ที่ประมาณจุดศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ โดยแนวคิดที่ดาวเคราะห์โคจรเป็นวงรีนั้นขัดกับแนวคิดที่สอนกันมาตั้งแต่ในยุคกรีกโบราณที่เชื่อว่าวงโคจรของดาวเคราะห์นั้นเป็นวงกลม เพราะถือว่าวงกลมคือความสมบูรณ์แบบ เคปเลอร์ต้องใช้เวลาศึกษาอย่างยาวนานเพื่อลบความเชื่อเก่านี้


          2.กฎของพื้นที่ ระหว่างที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เมื่อลากเส้นตรงเชื่อระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ ในระยะเวลาที่เท่ากัน การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์จะกวาดพื้นที่เป็นขนาดที่เท่ากัน ดูภาพประกอบจะเข้าใจได้ง่ายขึ้น กฎนี้ทำให้เห็นว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วไม่คงที่ เมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นและเมื่ออยู่ห่างจากดวงอาทิตย์จะเคลื่อนที่ช้าลง กฎนี้ขัดแย้งกับแนวคิดที่สอนกันมาตั้งแต่ยุคกรีกโบราณว่าดาวเคราะห์ต่างๆเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
          3.กฎของคาบ กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร โดยอาศัยความรู้จากสมการกฎข้อที่สาม  
          โดยที่ T,G,M,r คือ คาบของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์, ค่าคงที่โน้มถ่วงสากล, มวลของดวงอาทิตย์ และรัศมีของการโคจร ตามลำดับ


          สำหรับการโคจรในแบบวงรีเราแทน r ด้วย a หรือกึ่งแกนเอกของวงโคจร จะได้เป็นอัตราส่วนของ \(\dfrac{T^2}{a^3}\) ที่มีค่าคงที่เท่ากันในทุกดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ดวงเดียวกัน


          เมื่อเราเข้าใจกฎนี้แล้วเราก็สามารถนำกฎนี้ไปศึกษาการเคลื่อนที่ของสิ่งต่างๆได้ เช่นเราสนใจการเคลื่อนที่ของดาวหางฮัลเลย์ เมื่อเราดูการโคจรของสิ่งต่างๆรอบดวงอาทิตย์ จากรูปจะพบว่า \(R_P\) หรือตำแหน่งโคจรที่อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (Perihelion) กับ \(R_a\) หรือตำแหน่งโคจรที่อยู่ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด (Aphelion) จากรูปเราจะพบความสัมพันธ์ที่ว่า

โดยที่ a คือกึ่งแกนเอกของวงโคจร

             เราทราบข้อมูลว่าดาวหางฮัลเลย์นั้นมีคาบวงโคจรกลับมาให้คนบนโลกเห็นบนท้องฟ้าประมาณทุกๆ 76 ปี โดยในปี ค.ศ. 1986 มันโคจรในตำแหน่งระยะทางที่มันใกล้ดวงอาทิตย์มากที่สุด\((R_P)\)คือ 8.9*10^10 เมตร เราต้องการทราบว่ามันจะมีระยะตำแหน่งโคจรที่อยู่ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด \((R_a)\) คือเท่าไร เราก็สามารถใช้ความรู้จากกฎของเคปเลอร์คำนวณได้จากกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ 

  เราเปลี่ยนจากตัวแปร r เป็น a และย้ายฝั่งเพื่อหาค่ากึ่งแกนเอกของวงโคจร (a) จะได้เป็น

 
และจากความสัมพันธ์ที่ว่า

  เมื่อเราแทนค่า \(R_p\)และ \(a\) ลงไป เราก็จะสามารถคำนวณระยะตำแหน่งโคจรที่อยู่ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด\((R_a)\)ของดาวหางฮัลเลย์ได้ก็คือ 

              จากอดีตที่เราสับสนกับการเคลื่อนที่ของสิ่งต่างๆบนท้องฟ้า แต่เมื่อนักวิทยาศาสตร์ลงมือศึกษาอย่างจริงจังทำให้เราสามารถเข้าใจและทำนายการโคจรของสิ่งต่างๆบนท้องฟ้าได้ ในยุคต่อมา ไอแซก นิวตัน นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษแสดงให้เห็นว่ากฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันสามารถนำไปสู่กฎการเคลื่อนที่ดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ได้ 


           ดาวหางฮัลเลย์จะมาให้คนบนโลกเห็นกันอีกในปี ค.ศ. 2061 นับจากปี ค.ศ. 2019 ก็กว่าอีก 42 ปี ไม่รู้ว่าเราจะมีอายุยืนจะได้เห็นถึงหรือเปล่า แต่เราสามารถใช้คณิตศาสตร์คำนวณเข้าใจการเคลื่อนที่วงโคจรของมันก็นับว่าประสบความสำเร็จแล้ว

 

• Resnick, R., Walker, J. and Halliday, D. (2014). Fundamentals of physics. Hoboken, N.J.: Wiley.  
• Kepler's laws of planetary motion.  (2015). Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica Ultimate Reference Suite.  Chicago: Encyclopædia Britannica.
• "Kepler’s Laws." Microsoft® Student 2009 [DVD]. Redmond, WA: Microsoft Corporation, 2008.
• สธน วิจารณ์วรรณลักษณ์. (2555). คู่มือประกอบสื่อการสอนวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย วิชาโลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ เรื่อง ดาวเคราะห์วงนอก: Retrograde motion. สืบค้นเมื่อ 19 สิงหาคม 2562, จาก http://www.phukhieo.ac.th/obec-media/2555/manual/%A4%D9%E8%C1%D7%CD%E2%C5%A1%B4%D2%C3%D2%C8%D2%CA%B5%C3%EC%E1%C5%D0%CD%C7%A1%D2%C8/51_%B4%D2%C7%E0%A4%C3%D2%D0%CB%EC%C7%A7%B9%CD%A1%20Retrograde%20motion.pdf