การวิเคราะห์เชิงมิติ (Dimensional analysis) อาวุธลับในการทำโจทย์ฟิสิกส์

การวิเคราะห์เชิงมิติเป็นหนึ่งในอาวุธลับสำคัญในการแก้ปัญหาทำโจทย์ฟิสิกส์

มีอยู่ช่วงหนึ่งของชีวิตที่ผู้เขียนชอบอ่านนวนิยายกำลังภายในมาก ในนวนิยายบางเรื่องเหล่าตัวร้ายที่สู้พระเอกไม่ได้ ก็มักใช้อาวุธลับที่พกซ่อนติดตัวมาเพื่อใช้พยายามจัดการกับพระเอก แต่แล้วเหล่าตัวร้ายก็มักแพ้พระเอกในตอนสุดท้ายอยู่ดี ในการทำโจทย์ฟิสิกส์นั้นก็มีเทคนิคอย่างหนึ่งซึ่งเราอาจจะเรียกว่าอาวุธลับก็ได้ ที่เรียกเช่นนี้เพราะเนื้อหาของเรื่องนี้บางคนก็ทราบ บางคนก็ไม่ทราบ เหมือนเป็นเนื้อหาเสริม สิ่งที่ผู้เขียนกำลังอธิบายถึงอยู่นี้ก็คือการวิเคราะห์เชิงมิติ

การวิเคราะห์เชิงมิติหรือภาษาอังกฤษคือ Dimensional analysis เป็นวิธีการที่ใช้ศึกษาความสัมพันธ์ของปริมาณทางกายภาพโดยพิจารณาจากมิติ (dimension) ของปริมาณนั้น การวิเคราะห์เชิงมิติมีประโยชน์อย่างมาก เช่น ใช้ในการตรวจสอบว่าสมการทางฟิสิกส์มีความสมเหตุสมผลหรือไม่ [1,2] เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางกายภาพต่าง ๆ ในปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ หรือเพื่อแปลงหน่วยจากระบบหน่วยหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง อีกทั้งช่วยค้นหารูปแบบความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต่าง ๆ ในกรณีที่ยังไม่ทราบสมการอย่างชัดเจนเป็นต้น ในการตรวจสอบว่าสมการทางฟิสิกส์มีความสมเหตุสมผลหรือไม่ เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่าภาวะเอกพันธ์เชิงมิติ (dimensional homogeneity) ซึ่งหมายถึงสมการทางฟิสิกส์ที่ถูกต้อง มิติของด้านซ้ายและด้านขวาของสมการจะต้องสอดคล้องกัน

ปริมาณทางกายภาพที่จะนำมาเปรียบเทียบหรือบวกหรือลบกันได้ จะต้องเป็นปริมาณที่เปรียบเทียบกันได้ (commensurable) เนื่องจากมีลักษณะทางมิติเหมือนกันถึงแม้ว่าจะใช้หน่วยต่างกันก็ตาม ตัวอย่างเช่น 1 เมตร และ 50 เซนติเมตรสามารถเปรียบเทียบหรือบวกกันได้ เพราะทั้งสองเป็นปริมาณความยาว โดยเพื่อง่ายแก่การคำนวณเราอาจจะแปลงให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อนก็ได้ ในทางกลับกันเวลาและแรงเป็นปริมาณที่มีมิติแตกต่างกันจึงไม่สามารถนำมาบวกหรือลบกันโดยตรงได้ อย่างไรก็ตามปริมาณที่มีมิติต่างกันยังสามารถนำมาคูณหรือหารกันเพื่อสร้างปริมาณใหม่ได้

ตารางที่ 1 จะแสดงปริมาณทางกายภาพที่เป็นปริมาณฐานในระบบเอสไอ ซึ่งมีทั้งหมด 7 ชนิด พร้อมทั้งสัญลักษณ์ของหน่วยและสัญลักษณ์ของมิติ [3] จะสังเกตเห็นได้ว่าสัญลักษณ์ของหน่วยจะไม่เหมือนกับสัญลักษณ์ของมิติ เช่น ความยาวมีหน่วยเป็นเมตร สัญลักษณ์ของหน่วยคือ m ในขณะที่มีสัญลักษณ์ของมิติคือ [L]

ตารางที่ 1 ตารางหน่วยฐานในระบบเอสไอและสัญลักษณ์ของมิติ

ในเรื่องของการวิเคราะห์เชิงมิติ มิติใช้สำหรับบอกลักษณะพื้นฐานของปริมาณทางกายภาพ โดยไม่จำเป็นต้องระบุหน่วยที่ใช้วัดโดยตรง ตัวอย่างเช่น ความยาวมีมิติเป็น [L] มวลมีมิติเป็น [M] หรือเวลามีมิติเป็น [T] เป็นต้น โดยมิติเหล่านี้สามารถนำมาประกอบกันได้ตามกฎทางพีชคณิตเช่นเดียวกับการจัดการกับหน่วย โดยเมื่อเรานำปริมาณทางกายภาพมาคูณหรือหารกัน มิติของปริมาณผลลัพธ์ก็สามารถคำนวณได้จากการคูณหรือหารมิติของปริมาณที่นำมาประกอบกัน ตัวอย่างเช่นพื้นที่ เกิดจากความยาวคูณกับความยาว ดังนั้นจึงมีมิติเป็น [L²] หรือปริมาตรมีมิติเป็น [L³] เป็นต้น แนวคิดนี้ช่วยให้เรามองเห็นความสัมพันธ์พื้นฐานของปริมาณทางฟิสิกส์ได้ แม้ว่าจะใช้หน่วยที่แตกต่างกันก็ตาม เราสามารถหามิติของปริมาณทางฟิสิกส์ที่ซับซ้อนขึ้นได้จากสมการทางฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น อัตราเร็ว (speed) นิยามจากระยะทางหารด้วยเวลา ดังนั้นเมื่อระยะทางมีมิติเป็น [L] และเวลามีมิติเป็น [T] อัตราเร็วจึงมีมิติเป็น [LT⁻¹] ความหนาแน่น (density) หมายถึงมวลต่อปริมาตร สามารถเขียนสมการได้เป็น ρ = m/V โดยที่ m และ V คือมวลและปริมาตรตามลำดับ เนื่องจากมวลมีมิติ [M] และปริมาตรมีมิติ [L³] ดังนั้นความหนาแน่นจึงมีมิติเป็น [ML⁻³] จะเห็นได้ว่าการวิเคราะห์มิติช่วยให้เราสามารถตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณต่าง ๆ ได้อย่างเป็นระบบ และเป็นเครื่องมือสำคัญในการตรวจสอบว่าสมการทางฟิสิกส์มีภาวะเอกพันธ์เชิงมิติหรือไม่ ข้อที่ต้องเน้นย้ำคือปริมาณที่สามารถนำมาบวกหรือลบกันได้จะต้องมีมิติเดียวกันเสมอ

เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น พิจารณาตารางที่ 2 ตัวอย่างปริมาณที่สำคัญทางฟิสิกส์และมิติของปริมาณ จะเห็นได้ว่าเมื่อแสดงข้อมูลเป็นตารางแบบนี้ เราจะสามารถเห็นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางฟิสิกส์ในหน่วยเอสไอและมิติของปริมาณได้อย่างชัดเจน ทำให้สามารถเข้าใจและตรวจสอบมิติของปริมาณต่าง ๆ ได้อย่างเป็นระบบ ไม่ว่าปริมาณนั้นจะมีหน่วยที่เราเข้าใจได้ง่ายหรือค่อนข้างยากเพราะมีความซับซ้อน

ตารางที่ 2 ตัวอย่างปริมาณที่สำคัญทางฟิสิกส์และมิติของปริมาณ

ต่อไปนี้จะแสดงตัวอย่างให้เห็นประโยชน์ของการวิเคราะห์เชิงมิติ เช่น สมมติว่าในตอนการสอบปลายภาคในห้องสอบเราจำสูตรพลังงานจลน์ไม่ได้อย่างแม่นยำ สับสนระหว่างสองสูตรแต่ไม่แน่ใจว่าสูตรไหนกันแน่ที่เป็นสูตรการหาพลังงานจลน์ที่ถูกต้องระหว่าง E_k = ½mv² หรือ E_k = ½ma² เราสามารถใช้การวิเคราะห์เชิงมิติเข้ามาช่วยตรวจสอบได้ โดยเราทราบว่าพลังงานมีหน่วยเป็นจูล (J) และมีมิติเป็น [ML²T⁻²] เมื่อพิจารณาสูตรแรก มวล m มีมิติเป็น [M] อัตราเร็ว v มีมิติเป็น [LT⁻¹] และ v² จะมีมิติเป็น [L²T⁻²] ฉะนั้นสูตรแรกจะมีมิติเป็น [ML²T⁻²] ในขณะที่สำหรับสูตรที่สอง มวล m มีมิติเป็น [M] ความเร่ง a มีมิติเป็น [LT⁻²] ฉะนั้น a² มีมิติเป็น [L²T⁻⁴] ดังนั้นสูตรที่สองจะมีมิติเป็น [ML²T⁻⁴] จะเห็นได้ว่าสูตรแรกมีมิติสอดคล้องกับมิติของพลังงานจลน์จึงเป็นสูตรที่ถูกต้อง เราจึงควรใช้สูตรแรกในการคำนวณพลังงานจลน์

ตัวอย่างที่กล่าวไปข้างต้นอาจดูเหมือนเป็นเพียงตัวอย่างเล็ก ๆ หรือค่อนข้างธรรมดา แต่แนวคิดที่อยู่เบื้องหลังนั้นสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวางมาก ตราบใดที่เราทราบมิติของปริมาณแต่ละตัวที่ปรากฏอยู่ในสมการ เราก็สามารถใช้การวิเคราะห์เชิงมิติเพื่อตรวจสอบได้ว่าสมการนั้นมีภาวะเอกพันธ์เชิงมิติหรือไม่ วิธีนี้จึงไม่ได้มีประโยชน์เฉพาะสำหรับการตรวจสอบว่าสมการที่เราเขียนขึ้นมานั้นถูกต้องหรือไม่เท่านั้น แต่ยังสามารถใช้เป็นเครื่องมือช่วยฟื้นความจำเกี่ยวกับสูตรทางฟิสิกส์ที่เราอาจจำได้เพียงบางส่วนหรือจำสับสนอีกด้วย เพราะเมื่อเราทราบว่าปริมาณที่ต้องการหามีมิติอะไร เราสามารถนำรูปแบบของสูตรที่เราจำได้อย่างไม่สมบูรณ์มาเปรียบเทียบกับมิติที่ควรจะเป็น และเลือกเฉพาะรูปแบบที่มีความสอดคล้องทางมิติออกมาใช้

การวิเคราะห์เชิงมิติดูเป็นแนวคิดที่เรียบง่าย ไม่ได้มีความซับซ้อน แต่เมื่อลองค้นหาดูข้อมูลว่าจุดกำเนิดของแนวคิดนี้เริ่มต้นในปีไหน โดยใคร กลับดูเป็นเรื่องยากและยังคงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ แต่เราพอทราบคร่าว ๆ ว่าคนแรกที่บันทึกไว้ถึงประโยชน์ของการวิเคราะห์เชิงมิติคือ François Daviet de Foncenex นักคณิตศาสตร์ที่บันทึกไว้ในปี ค.ศ. 1799 [4] และต่อมาในปี ค.ศ. 1822 โจเซฟ ฟูเรียร์ (Joseph Fourier) เป็นคนแรกที่มีการบันทึกไว้ว่ากฎทางฟิสิกส์เช่นกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน ควรเป็นอิสระจากหน่วยที่นำมาใช้ [5] กล่าวคือจากกฎที่อธิบายได้ว่าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับความเร่งของวัตถุคูณด้วยมวลของวัตถุนั้น สามารถเขียนโดยใช้หน่วยของระบบเอสไอ หรือหน่วยในระบบอื่น ๆ ก็ได้ โดยที่ความสัมพันธ์ทางฟิสิกส์ยังคงเหมือนเดิม มิติของสมการไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลง

ก่อนจะกล่าวถึงข้อจำกัดของการวิเคราะห์เชิงมิติ ผู้เขียนขอแสดงตัวอย่างอีกหนึ่งตัวอย่างที่น่าจะเป็นประโยชน์กับนักเรียนนักศึกษามาก กล่าวคือสมมติว่าในห้องสอบเราลืมสูตรคาบการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่ายไปเสียสนิท เราจะกู้สูตรนั้นกลับคืนมาได้อย่างไร การวิเคราะห์เชิงมิติช่วยเราได้ โดยมีขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1 ระบุปริมาณที่คาดว่าเกี่ยวข้อง คาบการแกว่ง T น่าจะขึ้นกับความยาวเชือก L มวลของลูกตุ้ม m และความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วง g

ขั้นที่ 2 เขียนความสัมพันธ์ในรูปผลคูณของกำลัง นั่นคือสมมติว่า

T = k L^a m^b g^c

โดยที่ k เป็นค่าคงตัวไร้มิติ และ a, b, c เป็นเลขชี้กำลังที่เรายังไม่ทราบค่า

ขั้นที่ 3 แทนมิติของแต่ละปริมาณลงไป เนื่องจาก L มีมิติ [L], m มีมิติ [M] และ g มีมิติ [LT⁻²] ขณะที่ด้านซ้ายมีมิติเป็นเวลา จะได้

M⁰L⁰T¹ = [L]^a [M]^b [LT⁻²]^c = M^b L^(a+c) T^−2c

ขั้นที่ 4 เทียบเลขชี้กำลังของมิติแต่ละตัวทั้งสองข้าง จะได้ระบบสมการ

มวล: b = 0  ความยาว: a + c = 0  เวลา: −2c = 1

ขั้นที่ 5 แก้ระบบสมการ ได้ c = −1/2, a = 1/2 และ b = 0 จึงได้ว่า

T = k √(L/g)

สิ่งที่น่าสนใจคือผลลัพธ์ b = 0 นั้นไม่ใช่เพียงรายละเอียดทางพีชคณิต แต่เป็นการทำนายทางฟิสิกส์ว่าคาบการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่ายไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้มเลย เราได้ข้อสรุปนี้มาจากการพิจารณามิติเพียงอย่างเดียว โดยไม่ต้องแก้สมการการเคลื่อนที่แม้แต่บรรทัดเดียว

ได้อธิบายข้อดีของการวิเคราะห์เชิงมิติไปแล้ว ทีนี้เราลองมาดูข้อจำกัดของมันกันบ้าง ข้อจำกัดที่ชัดเจนที่สุดคือวิธีนี้ไม่สามารถบอกค่าของค่าคงตัวไร้มิติ (dimensionless constant) ในสมการได้ จากตัวอย่างลูกตุ้มข้างต้น เป็นที่ทราบกันดีของผู้เรียนเอกฟิสิกส์ว่าคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายที่มีการแกว่งที่เป็นมุมน้อย ๆ สามารถเขียนเป็นสมการได้เป็น

T = 2π √(L/g)(1)

โดยที่ T, π, L, g คือ คาบการแกว่ง ค่าคงตัวพาย ความยาวของเส้นเชือก และความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลกตามลำดับ การวิเคราะห์เชิงมิติพาเราไปได้ไกลถึงรูปแบบ T = k √(L/g) แต่ไม่สามารถบอกได้เลยว่า k มีค่าเท่ากับ 2π ค่านี้ต้องได้มาจากการแก้สมการการเคลื่อนที่หรือจากการทดลองเท่านั้น นี่นับเป็นข้อจำกัดที่สำคัญของการวิเคราะห์แบบนี้

นอกจากนี้ยังมีข้อจำกัดที่ลึกกว่านั้นอีก กล่าวคือมุมที่ลูกตุ้มแกว่งเป็นปริมาณไร้มิติอยู่แล้ว ดังนั้นการวิเคราะห์เชิงมิติจึงไม่มีทางตัดความเป็นไปได้ที่ k จะขึ้นกับมุมแกว่งออกไปได้เลย และในความเป็นจริงเมื่อมุมแกว่งใหญ่ขึ้น คาบการแกว่งก็ขึ้นกับมุมจริง ๆ เงื่อนไขมุมน้อย ๆ นั่นเองคือสิ่งที่ทำให้ k เป็นค่าคงตัว 2π ได้

อีกทั้งการวิเคราะห์เชิงมิติไม่สามารถบอกได้ว่าปริมาณทางกายภาพเป็นปริมาณแบบสเกลาร์ (scalar) หรือแบบเวกเตอร์ (vector) เพราะปริมาณทั้งสองประเภทสามารถมีมิติทางกายภาพเหมือนกัน ตัวอย่างเช่นความเร็ว (velocity) เป็นปริมาณแบบเวกเตอร์และอัตราเร็ว (speed) เป็นปริมาณแบบสเกลาร์ ต่างมีมิติเป็น [LT⁻¹] หรือการกระจัด (displacement) เป็นปริมาณแบบเวกเตอร์และระยะทาง (distance) เป็นปริมาณแบบสเกลาร์ ต่างก็มีมิติเป็น [L] เป็นต้น ในทำนองเดียวกัน ทอร์ก (torque) และพลังงานต่างก็มีมิติเป็น [ML²T⁻²] แม้จะเป็นปริมาณทางฟิสิกส์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันเลย จุดนี้ชี้ให้เห็นว่าหน่วยยังเก็บข้อมูลบางอย่างที่มิติทิ้งไป

ยังมีข้อควรระวังที่ควรเน้นย้ำอีก กล่าวคือแม้เราจะตรวจสอบแล้วว่าสมการมีมิติที่สอดคล้องถูกต้องแล้ว แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าสมการนั้นถูกต้อง ยกตัวอย่างเช่น E_k = mv² ก็มีมิติของปริมาณที่ถูกต้องแต่ยังเป็นสูตรพลังงานจลน์ที่ไม่ถูกต้อง อันนี้เป็นจุดสำคัญที่ต้องระวัง กล่าวคือความสอดคล้องทางมิติเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ และอีกเรื่องที่สำคัญไม่แพ้กันคืออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์บางประเภท เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin(x), cos(x), tan(x) หรือฟังก์ชัน log(x) และ exp(x) จะต้องเป็นปริมาณที่ไม่มีมิติเสมอ ถ้าเห็นว่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเหล่านี้มีหน่วย เราก็อาจจะตั้งข้อสงสัยได้เลยว่าต้องมีอะไรไม่ชอบมาพากลเป็นแน่แท้

ความน่าทึ่งของการวิเคราะห์เชิงมิติจะเห็นได้ชัดจากตัวอย่างในประวัติศาสตร์ ในปี ค.ศ. 1941 ระหว่างสงครามโลกครั้งที่สอง รัฐบาลอังกฤษมอบหมายให้ จี ไอ เทเลอร์ (G. I. Taylor) นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ ศึกษาปัญหาคลื่นกระแทกที่เกิดจากการระเบิดที่รุนแรงมาก เทเลอร์พบว่าหากการระเบิดปลดปล่อยพลังงานออกมาอย่างฉับพลันในอากาศ รัศมีของลูกไฟที่ขยายตัวออกไปจะต้องสัมพันธ์กับพลังงาน ความหนาแน่นของอากาศ และเวลา ในรูป

R ∝ (E t² / ρ)^1/5

โดยที่ R คือรัศมีของลูกไฟเมื่อเวลา t ส่วน E คือพลังงานที่ปลดปล่อยออกมา และ ρ คือความหนาแน่นของอากาศ ซึ่งเป็นผลที่ได้มาจากการวิเคราะห์เชิงมิติโดยตรง ต่อมาในปี ค.ศ. 1947 กองทัพสหรัฐอเมริกาได้เผยแพร่ภาพถ่ายการทดสอบระเบิดนิวเคลียร์ทรินิตี้ (Trinity) ที่รัฐนิวเม็กซิโก ประเทศสหรัฐอเมริกา เมื่อวันที่ 16 กรกฎาคม ค.ศ. 1945 ต่อสาธารณะ โดยภาพชุดนั้นระบุทั้งมาตราส่วนและเวลาไว้ด้วย เทเลอร์จึงนำรัศมีลูกไฟที่วัดได้จากภาพมาแทนค่าในความสัมพันธ์ข้างต้น และประมาณพลังงานของการระเบิดได้ราว 17 กิโลตัน ขณะที่ค่าที่ยอมรับกันในปัจจุบันอยู่ที่ประมาณ 21 กิโลตัน นั่นคือคลาดเคลื่อนไปราว 20% ซึ่งถือว่าใกล้เคียงอย่างน่าทึ่ง เมื่อคำนึงว่าข้อมูลทั้งหมดที่เขาใช้คือภาพถ่ายที่เปิดเผยต่อสาธารณะ เทเลอร์ตีพิมพ์ผลงานนี้ในปี ค.ศ. 1950 [6] และมีบันทึกไว้ว่าเขาถูกตำหนิ เพราะค่าพลังงานของระเบิดลูกนั้นยังเป็นความลับทางราชการอยู่ นี่นับเป็นหลักฐานชั้นดีถึงความสามารถของการวิเคราะห์เชิงมิติ

ในบทความนี้มองว่าการวิเคราะห์เชิงมิติเป็นเหมือนอาวุธลับในการทำโจทย์ ซึ่งส่วนใหญ่เป็นอาวุธในเชิงตั้งรับ เชิงป้องกันไม่ให้เราผิดพลาด แต่ในมือของคนที่ชำนาญพออย่างเช่นเทเลอร์ อาวุธลับนี้ก็ใช้โจมตีได้เหมือนกัน หวังว่าผู้อ่านจะได้ประโยชน์จากบทความนี้ และนำการวิเคราะห์เชิงมิติไปใช้เป็นอาวุธลับในการทำโจทย์ฟิสิกส์ อย่างไรก็ตาม ทักษะการแก้โจทย์ปัญหาทางฟิสิกส์ก็คล้ายกับพระเอกในนิยายกำลังภายใน เช่นลี้คิมฮวงในฤทธิ์มีดสั้นหรือเอี้ยก้วยในมังกรหยก กว่าจะเก่งมีวรยุทธ์สูงส่งก็ต้องผ่านการฝึกฝนเคี่ยวกรำอย่างหนัก

ณัฐพล โชติศรีศุภรัตน์

นักศึกษาระดับปริญญาเอก

ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

อ้างอิง

1. Mahoney, J. F., & Yeralan, S. (2019). Dimensional analysis. Procedia Manufacturing, 38, 694-701.

2. Strassler, M. (2022, June 21). Dimensional analysis: A secret weapon in physics. Of Particular Significance. https://profmattstrassler.com/2022/06/21/dimensional-analysis-a-secret-weapon-in-physics/

3. Moebs, W., Ling, S. J., & Sanny, J. (2016). University physics volume 1. OpenStax. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-4-dimensional-analysis

4. Martins, R. D. A. (1981). The origin of dimensional analysis. Journal of the Franklin Institute, 311(5), 331-337.

5. Bolster, D., Hershberger, R. E., & Donnelly, R. J. (2011). Dynamic similarity, the dimensionless science. Physics Today, 64(9), 42-47.

6. Taylor, G. I. (1950). The formation of a blast wave by a very intense explosion. II. The atomic explosion of 1945. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 201(1065), 175-186.